Contoh Soal dan Kunci Jawaban Matematika Dasar Eksponen dan Logaritma
Kelas 9 Matematika SBMPTN
Kumpulan Soal Latihan Matematika Dasar: Eksponen dan Logaritma
Halo teman-teman pejuang ujian masuk perguruan tinggi! Kali ini, saya ingin berbagi rahasia kecil yang seringkali jadi penentu di soal-soal seperti SBMPTN atau UTBK. Kita akan membahas materi Eksponen dan Logaritma.
Materi ini sering dianggap momok, padahal kalau kita sudah menggenggam konsep dan sifat-sifatnya, soal-soal ini bisa diselesaikan dengan mudah, bahkan cepat! Anggap saja ini sesi pemanasan. Saya akan berikan materinya sedikit demi sedikit. Untuk kali ini, fokus kita adalah 10 soal dasar beserta pembahasan tuntasnya.
Mari kita mulai dengan 10 soal pertama, yang menekankan pada penerapan dasar sifat-sifat eksponen dan logaritma.
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN MENDALAM (Eksponen dan Logaritma)
Soal 1: Menyederhanakan Eksponen Dasar
Pertanyaan: Bentuk sederhana dari $$(3a^2b^{-3})(2a^{-1}b^4)$$ adalah...
- 6ab
- $$6a^3b^{-7}$$
- 5ab
- $$6ab^{-1}$$
- $$5a^3b$$
Kunci Jawaban: a. 6ab
Pembahasan:
Ingat prinsip dasar perkalian eksponen: kalikan koefisien, lalu jumlahkan pangkat untuk basis yang sama ($$x^m \cdot x^n = x^{m+n}$$).
- Koefisien: 3 × 2 = 6.
- Variabel a: $$a^2 \cdot a^{-1} = a^{2 + (-1)} = a^1 = a$$.
- Variabel b: $$b^{-3} \cdot b^4 = b^{-3 + 4} = b^1 = b$$.
Hasil Akhir: Gabungkan semuanya, kita dapatkan $$6ab$$. Sederhana, bukan?
Soal 2: Eksponen Pangkat Nol dan Negatif
Pertanyaan: Nilai dari $$\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} + 4^0 - \sqrt{16}$$ adalah...
- 5
- 4
- 3
- 2
- 1
Kunci Jawaban: a. 5
Pembahasan:
Mari kita bedah satu per satu, mengacu pada sifat eksponen:
- Pangkat Negatif: $$\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}$$. Pangkat negatif membalikkan pecahan, jadi ini sama dengan $$2^3 = 8$$.
- Pangkat Nol: $$4^0$$. Ingat, semua bilangan (kecuali nol) yang dipangkatkan nol hasilnya adalah 1. Jadi, $$4^0 = 1$$.
- Akar: $$\sqrt{16} = 4$$.
Perhitungan Total: $$8 + 1 - 4 = 5$$.
Soal 3: Persamaan Eksponen Sederhana
Pertanyaan: Nilai x yang memenuhi persamaan $$3^{2x-1} = 27$$ adalah...
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
Kunci Jawaban: b. 2
Pembahasan:
Kunci untuk menyelesaikan persamaan eksponen adalah menyamakan basisnya!
- Ubah 27 menjadi bentuk pangkat dengan basis 3: $$27 = 3^3$$.
- Persamaan menjadi: $$3^{2x-1} = 3^3$$.
- Karena basisnya sudah sama (sama-sama 3), kita bisa samakan pangkatnya: $$2x - 1 = 3$$
- Selesaikan aljabar biasa: $$2x = 3 + 1 \rightarrow 2x = 4 \rightarrow x = 2$$.
Soal 4: Persamaan Eksponen yang Lebih Kompleks
Pertanyaan: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan $$4^{x+1} = \frac{1}{\sqrt{8}}$$.
- $$-\frac{5}{4}$$
- $$-\frac{3}{4}$$
- $$-\frac{1}{4}$$
- $$\frac{1}{4}$$
- $$\frac{5}{4}$$
Kunci Jawaban: $$\mathbf{x = -\frac{7}{4}}$$
Pembahasan:
Prinsipnya sama: ubah semua ke basis terkecil, yaitu 2.
- Sisi Kiri: $$4^{x+1} = (2^2)^{x+1} = 2^{2x+2}$$.
- Sisi Kanan: $$\frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{(2^3)^{1/2}} = 2^{-3/2}$$.
- Samakan Pangkat: $$2x + 2 = -\frac{3}{2}$$.
- Selesaikan: $$2x = -\frac{3}{2} - 2 \rightarrow 2x = -\frac{7}{2} \rightarrow x = -\frac{7}{4}$$.
Soal 5: Aplikasi Sifat Logaritma (Perkalian)
Pertanyaan: Jika $$\log 2 = p$$ dan $$\log 3 = q$$, maka nilai dari $$\log 12$$ adalah...
- $$2p + q$$
- $$p + 2q$$
- $$p \cdot q$$
- $$\frac{p}{q}$$
- $$p^2 q$$
Kunci Jawaban: a. $$2p + q$$
Pembahasan:
Gunakan sifat $$\log (x \cdot y) = \log x + \log y$$ dan $$\log x^n = n \log x$$.
- Urai 12: $$12 = 4 \times 3 = 2^2 \times 3$$.
- Terapkan Sifat Logaritma: $$\log 12 = \log 2^2 + \log 3$$.
- Gunakan Sifat Pangkat: $$2 \log 2 + \log 3$$.
- Substitusikan: $$2(p) + q = 2p + q$$.
Soal 6: Aplikasi Sifat Logaritma (Pembagian)
Pertanyaan: Nilai dari $${}^2\log 48 - {}^2\log 3$$ adalah...
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
Kunci Jawaban: c. 4
Pembahasan:
Pengurangan logaritma sama dengan logaritma dari pembagian numerusnya: $${}^a\log x - {}^a\log y = {}^a\log \left(\frac{x}{y}\right)$$.
- Gabungkan: $${}^2\log 48 - {}^2\log 3 = {}^2\log \left(\frac{48}{3}\right) = {}^2\log 16$$.
- Hitung: $${}^2\log 16$$ berarti 2 dipangkatkan berapa agar hasilnya 16? $$x = 4$$.
Soal 7: Persamaan Logaritma
Pertanyaan: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan $${}^5\log (2x - 1) = 2$$.
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
Kunci Jawaban: c. 13
Pembahasan:
Ubahlah persamaan logaritma menjadi bentuk eksponen. Ingat rumusnya: $${}^a\log b = c \text{ setara dengan } a^c = b$$.
- Ubah Bentuk: $$5^2 = 2x - 1$$.
- Selesaikan: $$25 = 2x - 1 \rightarrow 2x = 26 \rightarrow x = 13$$.
Soal 8: Eksponen Campuran (Review Kompleks)
Pertanyaan: Bentuk sederhana dari $$\frac{(x^3 y^{-2} z^5)^2}{(x^{-1} y^4 z^3)^3}$$ adalah...
- $$x^9 y^{-14} z$$
- $$x^5 y^{-10} z^{19}$$
- $$x^9 y^{-16} z$$
- $$x^8 y^{-18} z^{1}$$
- $$x^7 y^{-10} z$$
Kunci Jawaban: c. $$x^9 y^{-16} z$$
Pembahasan:
Ini adalah ujian sifat perkalian dan pembagian eksponen berantai!
- Sederhanakan Pembilang: $$(x^3 y^{-2} z^5)^2 = x^6 y^{-4} z^{10}$$.
- Sederhanakan Penyebut: $$(x^{-1} y^4 z^3)^3 = x^{-3} y^{12} z^9$$.
- Bagi (Kurangi Pangkat): $$x^{6 - (-3)} y^{-4 - 12} z^{10 - 9} = x^9 y^{-16} z$$.
Soal 9: Hubungan Eksponen dan Logaritma (Kebalikan)
Pertanyaan: Diketahui $${}^a\log b = 3$$. Nilai dari $${}^b\log a^2$$ adalah...
- $$\frac{1}{9}$$
- $$\frac{1}{3}$$
- $$\frac{2}{3}$$
- 3
- 9
Kunci Jawaban: c. $$\frac{2}{3}$$
Pembahasan:
- Sifat Kebalikan: $${}^b\log a = \frac{1}{{}^a\log b} = \frac{1}{3}$$.
- Sifat Pangkat Numerus: $${}^b\log a^2 = 2 \cdot {}^b\log a$$.
- Substitusikan: $$2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}$$.
Soal 10: Sifat Pangkat pada Basis dan Numerus Logaritma
Pertanyaan: Jika $${}^3\log 5 = p$$, maka nilai dari $${}^{27}\log 125$$ adalah...
- $$\frac{1}{3} p$$
- $$\frac{2}{3} p$$
- $$p$$
- $$\frac{3}{2} p$$
- $$3p$$
Kunci Jawaban: c. $$p$$
Pembahasan:
Ini adalah soal yang menguji trik sifat $$\frac{n}{m}$$.
- Ubah Basis dan Numerus: $${}^{27}\log 125 = {}^{3^3}\log 5^3$$.
- Gunakan Sifat Pangkat $\frac{n}{m}$:** $$\frac{3}{3} \cdot {}^3\log 5$$.
- Sederhanakan: $$1 \cdot {}^3\log 5 = p$$.
💡 Ringkasan Intisari Konsep Kunci
Untuk memastikan Anda siap tempur di ujian, berikut adalah jimat yang wajib Anda hafal dan pahami.
🔴 Sifat-Sifat Krusial Eksponen
- Perkalian: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ (Pangkatnya dijumlahkan)
- Pembagian: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$ (Pangkatnya dikurangi)
- Pangkat Berantai: $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$ (Pangkatnya dikalikan)
- Pangkat Negatif: $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$ (Posisinya dibalik)
🟢 Sifat-Sifat Krusial Logaritma
Ingat: $${}^a\log b = c \iff a^c = b$$ (Logaritma adalah invers dari eksponen).
- Perkalian: $${}^a\log (xy) = {}^a\log x + {}^a\log y$$ (Log dari kali = jumlah log)
- Pembagian: $${}^a\log \left(\frac{x}{y}\right) = {}^a\log x - {}^a\log y$$ (Log dari bagi = kurang log)
- Pangkat Numerus: $${}^a\log x^n = n \cdot {}^a\log x$$ (Pangkatnya turun ke depan)
- Pangkat Campuran: $${}^{a^m}\log x^n = \frac{n}{m} \cdot {}^a\log x$$ (Pangkat numerus per pangkat basis)
Memahami dan melatih sifat-sifat ini adalah langkah awal yang sangat penting. Semakin sering Anda latihan, semakin cepat Anda mengenali pola soalnya!
Semoga 10 contoh soal ini mencerahkan Anda.
✨ Latihan Mandiri
Untuk menguji pemahaman Anda, coba kerjakan soal berikut dan periksa kembali ke pembahasan di atas:
Soal Tambahan:
Jika $$\left(\frac{1}{8}\right)^{2x-1} = 4^{3-x}$$, tentukan nilai x.
(Petunjuk: Ubahlah semua basis menjadi 2, lalu samakan pangkatnya!)
